有理数乘无理数是什么数

更新时间:2024-03-29 07:25:46

在一个是数域中如果其中的数做加减乘除(除数不为0)运算,结果还在这个数域中,则说这个数域是封闭的。

现在证明有理数域封闭:

设任意两个有理数a、b,则必然有a=p/q、b=m/n,因为有理数都可以由分数表示:

而a+b=(pn+qm)/(qn)仍是有理数。

a*b=pm/qn仍是有理数。

减法和除法由于是加法和乘法的逆运算,所以显然成立。

故有理数域是封闭的。

假如有理数a(不为0),乘无理数b得有理数c。

那么由于有理数域的封闭性知b=c/a必属于有理数域,矛盾产生,所以不可能得到有理数。

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